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NM 2.1Rectas: Ecuaciones, pendiente y posiciones relativas

Distintas formas de la ecuación de una recta. Pendiente; intersecciones con los ejes. Rectas paralelas y perpendiculares. Puntos de intersección de gráficas.

Formas de la ecuación de una recta

Una recta en el plano puede expresarse de varias formas equivalentes:

$𝐅 𝐨 𝐫 𝐦 𝐚 𝐠 𝐞 𝐧 𝐞 𝐫 𝐚 𝐥 : a x + b y + c = 0 𝐅 𝐨 𝐫 𝐦 𝐚 𝐞 𝐱 𝐩 𝐥 í 𝐜 𝐢 𝐭 𝐚 (𝐨 𝐩 𝐞 𝐧 𝐝 𝐢 𝐞 𝐧 𝐭 𝐞 - 𝐨 𝐫 𝐝 𝐞 𝐧 𝐚 𝐝 𝐚) : y = m x + n$

$𝐅 𝐨 𝐫 𝐦 𝐚 𝐩 𝐮 𝐧 𝐭 𝐨 - 𝐩 𝐞 𝐧 𝐝 𝐢 𝐞 𝐧 𝐭 𝐞 : y - y_{1} = m (x - x_{1})$

donde $m$ es la pendiente de la recta (la razón entre la variación vertical y la variación horizontal) y $n$ es la ordenada en el origen (el valor de $y$ donde la recta corta al eje Y). Dados dos puntos $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2})$ de la recta, la pendiente se calcula como:

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

Intersecciones con los ejes

La intersección con el eje Y se obtiene haciendo $x = 0$ ; la intersección con el eje X (si existe) se obtiene haciendo $y = 0$ y despejando $x$ .

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas de pendientes $m_{1}$ y $m_{2}$ son:

$𝐏 𝐚 𝐫 𝐚 𝐥 𝐞 𝐥 𝐚 𝐬 \Leftrightarrow m_{1} = m_{2} 𝐏 𝐞 𝐫 𝐩 𝐞 𝐧 𝐝 𝐢 𝐜 𝐮 𝐥 𝐚 𝐫 𝐞 𝐬 \Leftrightarrow m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

Figura 17. Pendiente de una recta: cociente entre Δy y Δx.

Figura 18. Recta dada, su perpendicular y una paralela a ésta.

Actividad resuelta

1. Halla la ecuación de la recta que pasa por los puntos $𝐀 (𝟏, 𝟐)$ y $𝐁 (𝟒, - 𝟒)$ , y determina sus intersecciones con los ejes.

$m = \frac{- 4 - 2}{4 - 1} = \frac{- 6}{3} = - 2 \to y - 2 = - 2 (x - 1) \to y = - 2 x + 4$

Corte con el eje Y ( $x = 0$ ): $y = 4$ , punto $(0, 4)$ . Corte con el eje X ( $y = 0$ ): $0 = - 2 x + 4 \to x = 2$ , punto $(2, 0)$ .

2. Halla la ecuación de la recta perpendicular a $𝐲 = 𝟑 𝐱 - 𝟏$ que pasa por el punto (2,5), y estudia si la recta $𝐲 = - \frac{𝟏}{𝟑} 𝐱 + 𝟕$ es paralela a ella.

Como la pendiente de la recta dada es $m_{1} = 3$ , la pendiente de la recta perpendicular cumple $3 \cdot m_{2} = - 1 \to m_{2} = - \frac{1}{3}$ .

$y - 5 = - \frac{1}{3} (x - 2) \to y = - \frac{1}{3} x + \frac{17}{3}$

Como $y = - \frac{1}{3} x + 7$ tiene la misma pendiente ( $m = - \frac{1}{3}$ ) pero distinta ordenada en el origen, es paralela a la recta hallada (no coincidente).

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Ecuaciones de la recta

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🧩 Posición relativa de dos rectas

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✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Halla la pendiente de la recta que pasa por:

a) $A (1, 2)$ y $B (4, 8)$

b) $P (- 3, 5)$ y $Q (2, 0)$

c) $R (0, 4)$ y $S (6, 4)$

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a) m = 6/3 = 2

b) m = (0 − 5)/(2 + 3) = −1

c) m = 0

2. Halla la ecuación de la recta en la forma $y = m x + n$ :

a) pendiente 3 y pasa por $(0, - 2)$

b) pendiente $- \frac{1}{2}$ y pasa por $(4, 1)$

c) pasa por $(1, 2)$ y $(3, 8)$

Ver solución

a) y = 3x − 2

b) y − 1 = −½(x − 4) ⇒ y = −x/2 + 3

c) m = 3 ; y = 3x − 1

3. Pasa la ecuación $y = 2 x - 5$ a la forma general $a x + b y + d = 0$ , y $3 x + 4 y - 12 = 0$ a la forma $y = m x + n$ . Indica la pendiente y la ordenada en el origen de cada una.

Ver solución

2x − y − 5 = 0 (m = 2, n = −5) ; y = −3x/4 + 3 (m = −3/4, n = 3)

4. Halla los puntos de corte con los ejes de la recta $2 x + 3 y = 12$ y represéntala.

Ver solución

Con y = 0: x = 6 ⇒ (6, 0). Con x = 0: y = 4 ⇒ (0, 4)

5. Indica si las rectas son paralelas, perpendiculares o ninguna de las dos:

a) $y = 3 x + 1$ e $y = 3 x - 4$

b) $y = 2 x + 5$ e $y = - \frac{x}{2} + 1$

c) $y = x + 2$ e $y = 2 x + 2$

Ver solución

a) Paralelas (misma pendiente 3)

b) Perpendiculares (2 · (−1/2) = −1)

c) Ninguna de las dos

6. Halla la ecuación de la recta paralela a $y = - 2 x + 3$ que pasa por $(1, 5)$ y la de la perpendicular a ella que pasa por el mismo punto.

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Paralela: m = −2 ⇒ y = −2x + 7. Perpendicular: m = 1/2 ⇒ y = x/2 + 9/2

7. Halla el punto de corte de las rectas $y = 2 x - 1$ e $y = - x + 5$ algebraicamente y comprueba el resultado con la calculadora.

Ver solución

2x − 1 = −x + 5 ⇒ x = 2, y = 3 ⇒ (2, 3)

8. Un taxi cobra una tarifa fija de 3 € más 1,20 € por kilómetro. Escribe la ecuación del coste C en función de los km, interpreta la pendiente y la ordenada en el origen y calcula el coste de 15 km.

Ver solución

C = 3 + 1,2 x. La pendiente 1,2 son los €/km; la ordenada 3 es la tarifa fija (bajada de bandera). C(15) = 21 €