MAE NS › Bloque 2 · Funciones y derivadas › Tipos de funciones

NM 2.6La función cuadrática

La función cuadrática $𝐟 (𝐱) = 𝐚 𝐱^{𝟐} + 𝐛 𝐱 + 𝐜$ : su gráfica, corte con el eje Y, eje de simetría y vértice. Forma factorizada $𝐟 (𝐱) = 𝐚 (𝐱 - 𝐩) (𝐱 - 𝐪)$ . Forma canónica (de vértice) $𝐟 (𝐱) = 𝐚 {(𝐱 - 𝐡)}^{𝟐} + 𝐤$ .

La parábola y sus elementos

La gráfica de $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ( $a \neq 0$ ) es una parábola, con las siguientes características:

Corta al eje Y en el punto $(0, c)$ .
Tiene un eje de simetría vertical de ecuación $x = - \frac{b}{2 a}$ .
Su vértice es el punto $(- \frac{b}{2 a}, f (- \frac{b}{2 a}))$ : un mínimo si $a > 0$ , o un máximo si $a < 0$ .

Forma factorizada

Si la ecuación $a x^{2} + b x + c = 0$ tiene soluciones $p$ y $q$ (los ceros de la función), la función puede escribirse en forma factorizada:

$f (x) = a (x - p) (x - q)$

de la que se leen directamente los cortes con el eje X.

Forma canónica (de vértice)

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

donde $(h, k)$ es directamente el vértice de la parábola. Esta forma se obtiene completando cuadrados a partir de $f (x) = a x^{2} + b x + c$ .

Figura 23. Modelo cuadrático: el vértice da la altura máxima.

Actividad resuelta

1. Dada $𝐟 (𝐱) = 𝐱^{𝟐} - 𝟒 𝐱 + 𝟑$ , halla su vértice, su eje de simetría, sus cortes con los ejes, y escríbela en forma factorizada y en forma canónica.

$x_{v} = - \frac{b}{2 a} = - \frac{- 4}{2} = 2 f (2) = 4 - 8 + 3 = - 1 \to V é r t i c e : (2, - 1)$

Eje de simetría: $x = 2$ . Corte con el eje Y: $(0, 3)$ . Cortes con el eje X: $x^{2} - 4 x + 3 = 0 \to x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} = {\begin{matrix} 3 \\ 1 \end{matrix}$

$F o r m a f a c t o r i z a d a : f (x) = (x - 1) (x - 3) F o r m a c a n ó n i c a : f (x) = {(x - 2)}^{2} - 1$

2. Un balón se lanza verticalmente y su altura (en metros) viene dada por $𝐡 (𝐭) = - 𝟓 𝐭^{𝟐} + 𝟐𝟎 𝐭$ , donde t es el tiempo en segundos. Halla la altura máxima alcanzada y el instante en que el balón vuelve al suelo.

$t_{v} = - \frac{20}{2 (- 5)} = 2 s h (2) = - 5 (4) + 20 (2) = - 20 + 40 = 20 m$

El balón vuelve al suelo cuando $h (t) = 0$ : $- 5 t^{2} + 20 t = 0 \to - 5 t (t - 4) = 0 \to t = 0$ o $t = 4$ s. Por tanto, la altura máxima es de 20 m, alcanzada a los 2 s, y el balón toca el suelo a los 4 s.

🖩 Recursos tecnológicos

🧩 Funciones polinómicas

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Calculadora CASIO fx-CG50

En MENU → GRAPH se dibuja la parábola Y1=aX²+bX+c y, con SHIFT + F5 (G-Solv) → MAX o MIN, se obtienen directamente las coordenadas del vértice; con ROOT se obtienen los cortes con el eje X, permitiendo comprobar visualmente la forma factorizada y la forma canónica calculadas a mano.

🧩 Ecuaciones de segundo grado

Abrir en GeoGebra ↗

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Halla el vértice, el eje de simetría y los puntos de corte con los ejes de:

a) $y = x^{2} - 4 x + 3$

b) $y = - 2 x^{2} + 8 x - 6$

Ver solución

a) Vértice (2, −1) ; eje x = 2 ; cortes con x: 1 y 3 ; con y: 3

b) Vértice (2, 2) ; eje x = 2 ; cortes con x: 1 y 3 ; con y: −6

2. Escribe en forma canónica $a {(x - h)}^{2} + k$ completando el cuadrado:

a) $x^{2} + 6 x + 5$

b) $2 x^{2} - 8 x + 3$

Ver solución

a) (x + 3)² − 4

b) 2(x − 2)² − 5

3. Desarrolla $y = 2 (x - 1) (x + 3)$ y halla su vértice.

Ver solución

y = 2x² + 4x − 6 ; vértice en x = −1: (−1, −8)

4. Calcula el discriminante e indica cuántas raíces reales tiene cada ecuación:

a) $x^{2} - 6 x + 9 = 0$

b) $2 x^{2} + x + 3 = 0$

c) $x^{2} - x - 6 = 0$

Ver solución

a) Δ = 0 ⇒ una raíz doble

b) Δ = −23 < 0 ⇒ ninguna raíz real

c) Δ = 25 > 0 ⇒ dos raíces reales

5. Halla los valores de k para que $x^{2} + k x + 9 = 0$ tenga una raíz doble.

Ver solución

Δ = k² − 36 = 0 ⇒ k = ±6

6. Resuelve con la fórmula (da el resultado exacto):

a) $2 x^{2} - 5 x - 3 = 0$

b) $x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Ver solución

a) x = (5 ± 7)/4 ⇒ x = 3 o x = −1/2

b) x = −2 ± √5

7. Una pelota se lanza hacia arriba y su altura es $h (t) = - 5 t^{2} + 20 t + 1$ (metros, segundos). Halla la altura máxima y el instante en que alcanza el suelo.

Ver solución

Máximo en t = 2 s: h = 21 m. Toca el suelo cuando −5t² + 20t + 1 = 0 ⇒ t = (20 + √420)/10 ≈ 4,05 s