NM 4.7Sucesos combinados: Diagramas y tablas

Uso de diagramas de Venn, diagramas de árbol, tablas de doble entrada y diagramas de espacio muestral para calcular probabilidades de sucesos combinados. Sucesos mutuamente excluyentes, sucesos independientes y probabilidad condicionada. Probabilidades con y sin reemplazamiento.

Sucesos combinados y la regla de la suma

Dados dos sucesos $A$ y $B$, la probabilidad de que ocurra al menos uno de los dos (su unión) es:

$$P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A\cap B)$$

Si $A$ y $B$ son mutuamente excluyentes (no pueden ocurrir a la vez, $A\cap B=⌀$), la fórmula se simplifica a $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$. Los diagramas de Venn son especialmente útiles para visualizar estas relaciones.

Probabilidad condicionada y sucesos independientes

La probabilidad condicionada de $A$ dado $B$, $P(A|B)$, es la probabilidad de que ocurra $A$ sabiendo que $B$ ya ha ocurrido:

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P\left(B\right)},P\left(B\right)\ne 0$$

Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no afecta a la probabilidad del otro: $P(A|B)=P\left(A\right)$, lo que equivale a decir que $P(A\cap B)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$.

Diagramas de árbol y experimentos con/sin reemplazamiento

Un diagrama de árbol representa las distintas etapas de un experimento y sus probabilidades asociadas en cada rama; la probabilidad de un resultado final se calcula multiplicando las probabilidades a lo largo de la rama correspondiente. En experimentos de extracción sucesiva, si el elemento extraído se repone (con reemplazamiento), las probabilidades no cambian de una extracción a otra (sucesos independientes); si no se repone (sin reemplazamiento), las probabilidades sí cambian (sucesos dependientes).

Figura 22. Diagrama de Venn con los datos del problema.