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NM 1.9Números combinatorios

El número combinatorio $(\binom{n}{r})$ . Cálculo de coeficientes binomiales. El teorema del binomio de Newton para exponentes naturales.

El número combinatorio

El número combinatorio $(\binom{n}{r})$ (léase “ $n$ sobre $r$ ”) indica de cuántas formas distintas se pueden elegir $r$ elementos de un conjunto de $n$ elementos, sin importar el orden. Se calcula como:

$(\binom{n}{r}) = \frac{n!}{r! (n - r)!}$

El teorema del binomio

El teorema del binomio de Newton permite desarrollar la potencia $n$ -ésima de un binomio sin necesidad de multiplicar término a término:

${(a + b)}^{n} = \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) a^{n - r} b^{r}$

Los números combinatorios $(\binom{n}{r})$ que aparecen en este desarrollo son precisamente los coeficientes de cada término, y coinciden con los valores de la fila $n$ del triángulo de Pascal.

Figura 5. Triángulo de Pascal: la fila n contiene los coeficientes del desarrollo de ${(a + b)}^{n}$ .

Actividad resuelta

Desarrolla ${(𝐱 + 𝟐)}^{𝟒}$ utilizando el teorema del binomio.

${(x + 2)}^{4} = \sum_{r = 0}^{4} (\binom{4}{r}) x^{4 - r} 2^{r} = (\binom{4}{0}) x^{4} + (\binom{4}{1}) x^{3} \cdot 2 + (\binom{4}{2}) x^{2} \cdot 4 + (\binom{4}{3}) x \cdot 8 + (\binom{4}{4}) \cdot 16$

$= x^{4} + 8 x^{3} + 24 x^{2} + 32 x + 16$

✎ Problemas para practicar en clase

Ejercicios básicos para afianzar la teoría de este ítem. Resuélvelos en tu cuaderno.

1. Calcula sin calculadora:

a) 5!

b) 7! / 5!

c) $(\binom{6}{2})$

d) $(\binom{8}{0}) + (\binom{8}{8})$

Ver solución

a) 120

b) 7 · 6 = 42

c) 15

d) 1 + 1 = 2

2. Construye el triángulo de Pascal hasta la fila $n = 6$ y úsalo para leer $(\binom{6}{3})$ .

Ver solución

Fila 0: 1; fila 1: 1 1; fila 2: 1 2 1; fila 3: 1 3 3 1; fila 4: 1 4 6 4 1; fila 5: 1 5 10 10 5 1; fila 6: 1 6 15 20 15 6 1. Luego C(6, 3) = 20

3. Desarrolla ${(a + b)}^{5}$ utilizando el teorema del binomio.

Ver solución

a⁵ + 5a⁴b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab⁴ + b⁵

4. Halla:

a) el coeficiente de $x^{3}$ en el desarrollo de ${(2 + x)}^{5}$

b) el término en $x^{2}$ de ${(1 + 3 x)}^{4}$

Ver solución

a) C(5, 3) · 2² = 10 · 4 = 40

b) C(4, 2) · (3x)² = 6 · 9x² = 54x²

5. Resuelve la ecuación $(\binom{n}{2}) = 21$ .

Ver solución

n(n − 1)/2 = 21 ⇒ n² − n − 42 = 0 ⇒ n = 7 (n = −6 no vale)

6. Comprueba con $n = 7$ y $r = 2$ que $(\binom{n}{r}) = (\binom{n}{n - r})$ , y que $(\binom{5}{2}) + (\binom{5}{3}) = (\binom{6}{3})$ .

Ver solución

C(7, 2) = 21 = C(7, 5) ✓ ; C(5, 2) + C(5, 3) = 10 + 10 = 20 = C(6, 3) ✓